Maths

Je vais tenter de me ré-initier à une catégorie des mathématiques que mes profs de math-sup m'avaient fait détester: l'analyse. Et plus particulièrement, la théorie des groupes. 

Comme c'est souvent le cas avec les sujets qu'on me force à ingurgiter, je mets un points d'honneur à n'en rien retenir. Je vais donc tout reprendre de zéro... Ces pages me serviront de notes de lecture et suivront l'ordre dans lequel je me serai de nouveau familiarisé avec ce sujet.

Bases

Axiome, Théorie Axiomatique

(http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome)

Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi » – lui-même dérivé de αξιος (axios), signifiant « digne ») désigne une vérité indémontrable qui doit être admise. Pour certains philosophes grecs de l'Antiquité, un axiome était une affirmation qu'ils considéraient comme évidente et qui n'avait nul besoin de preuve.

L'ensemble des axiomes d'une théorie est appelé axiomatique ou théorie axiomatique. Cette axiomatique définit la théorie ; ce qui signifie que l'axiome ne peut être remis en cause à l'intérieur de cette théorie, on dit alors que cette théorie est consistante. Un axiome représente donc plutôt un point de départ dans un système de logique et il peut être choisi arbitrairement. La pertinence d'une théorie dépend de la pertinence de ses axiomes et de son interprétation. En réalité, c'est de la non cohérence de son interprétation que vient la réfutation de la théorie non contradictoire et, par voie de conséquence, de son axiomatique. L'axiome est donc à la logique mathématique, ce qu'est le postulat à la physique théorique.

Exemple

on peut définir une arithmétique simple, comprenant un ensemble de « nombres » et une loi de composition, +, interne à cet ensemble, en posant (en s'inspirant un peu de Peano) :

1. un nombre noté 0 existe
2. tout nombre X a un successeur noté succ(X)
3. X+0 = X
4. succ(X) + Y = X + succ(Y)

A l'aide de ces axiomes on peut démontrer que succ(X) = X+1 puisque d'après 3) et 4) succ(X)+0 = X+succ(0) = X+1

Théorème

(http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me)

Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes.

Un théorème a généralement :

• des hypothèses de base, i.e. des conditions qui peuvent être énumérées dans le théorème ou décrites d'avance,
• une conclusion, i.e. une affirmation mathématique qui est vraie sous les conditions de base.

La démonstration, bien que nécessaire à la classification de la proposition comme « théorème », n'est pas considérée comme faisant partie du théorème. La démonstration comprend :

• des axiomes ;
• les hypothèses du théorème ;
• d'autres théorèmes déjà démontrés.

Chaque étape de la preuve est liée aux précédentes par des règles d'inférence logiques.

D'autres formes d'assertions

Au sens large toute assertion effectivement démontrée peut prendre le nom de théorème. Dans les ouvrages de mathématiques, il est cependant d'usage de réserver ce terme aux affirmations considérées comme nouvelles ou particulièrement intéressantes ou importantes. Selon leur importance, ou leur utilité, les autres assertions peuvent prendre des noms différents :

• lemme : assertion servant d'intermédiaire pour démontrer un théorème plus important ;
• corollaire : résultat qui découle directement d’un théorème prouvé ; on trouve aussi, dans les ouvrages anciens, le terme scholie. (Voir wikt:corollaire)
• proposition : résultat relativement simple qui n'est pas associé avec un théorème particulier ;
• remarque : résultat intéressant ou conséquence qui peut faire partie de la preuve ou d'une autre affirmation ;
• conjecture : proposition mathématique dont on ignore la valeur de vérité. Une fois prouvée, une conjecture devient un théorème.

Ensemble

(http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble)

Un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout » (au sens d'omnis).

Dans une approche axiomatique, la théorie des ensembles est une théorie de l'appartenance (un élément d'un ensemble est dit « appartenir » à cet ensemble). Le mot ensemble désigne alors un objet du domaine de cette théorie, dont les axiomes régissent les propriétés. La théorie des ensembles est utilisée pour fonder les mathématiques, et dans cette approche tout objet mathématique est in fine un ensemble.

La formulation en reviendrait au mathématicien Georg Cantor, qui énonçait : « Par ensemble, nous entendons toute collection M d'objets m de notre intuition ou de notre pensée, définis et distincts, ces objets étant appelés les éléments de M »

Les éléments peuvent être de n’importe quelle nature : nombres, points géométriques, droites, fonctions, autres ensembles...

L'appartenance d'un élément, noté par exemple x, à un ensemble, noté par exemple A, s’écrit : x ∈ A.

On dira donc que deux ensembles A et B sont égaux (on le notera comme d'habitude A = B) quand ils ont exactement les mêmes éléments. Cette propriété est connue sous le nom d'extensionnalité : (Extensionnalité) A = B si et seulement si ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B) où « ⇔ » désigne l'équivalence logique.

Exemples

• L'ensemble auxquels appartiennent les éléments 2, 3, et 5, et seulement ces éléments, est noté {2, 3, 5}. L'ensemble est défini en extension.
• La façon la plus générale de définir un ensemble est de donner une propriété caractéristique des éléments de cet ensemble. Par exemple, on pourra définir l'ensemble des nombres premiers par une propriété caractéristique de ceux-ci : être différent de 1 et avoir pour seuls diviseurs 1 et lui-même. On parle de définition en compréhension.
• Par extensionnalité, il n'y a qu'un seul ensemble sans éléments, l'ensemble vide, que l'on note ∅ ou { }.
• <math>\{x \in\mathbb{N}\mid x\ \rm pair \}</math>.
• On définira de la même façon (ℤ désignant l'ensemble des entiers relatifs) :
  • <math>\{x \in\mathbb{Z}\mid -7 \leq x \leq 23\}</math> l'ensemble des entiers relatifs compris entre -7 et 23 ;
  • <math>\left\{x \in\mathbb{N}\mid \exists y \in \mathbb{N}\ (y \geq 1\ {\rm et}\ x = y^2)\right\}</math> l'ensemble des carrés parfaits non nuls.